Работник уволился 14 марта. 30 апреля работодатель получил от него заказное письмо, в котором был больничный лист работника. Работник болел с 8 по 22 апреля.

Да, нужно. Пособие по временной нетрудоспособности выплачивается работнику в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня его увольнения (ч. 2 ст. 5 Федерального закона № 255-ФЗ от 29 декабря 2006 г. «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством»). Начало болезни работника наступило в 30-дневный период после увольнения. Работодатель обязан выплатить работнику пособие по временной нетрудоспособности.